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Minimal
minimaler Tonraum
Es werden die Erweiterungen des Tonraumes, den die beiden Terztöne E und G bilden, betrachtet:
Die Funktion spiegel(X) = (1,1,-3) -X bildet den Ton E auf den Ton G ab und umgekehrt:
- spiegel(E) = (1,1,-3) - (1,0,-2) = (0,1,-1) = G
- spiegel(G) = (1,1,-3) - (0,1,-1) = (1,0,-2) = E
Durch Spiegelung geht das Intervall E → G über in das Intervall G ← E
| E | G | ||
| (1,0,-2) | (0,1,-1) | ||
| (-1,1,1) | = 6/5 keine Terz |
Erweiterung von {E, G}
Die beiden Töne E und G werden eine Quinte höher transformiert und gespiegelt:
- E: (1,0,-2) + (0,1,-1) = (1,1,-3) = 15/8 = B
- G: (0,1,-1) + (0,1,-1) = (0,2,-2) = 9/8 = D
spiegel(B) = (1,1,-3) - (1,1,-3) = (0,0,0) = C
spiegel(D) = (1,1,-3) - (0,2,-2) = (1,-1,-1) = 5/6 = A eine Oktave tiefer
Die beiden Töne E und G werden eine Quinte tiefer transformiert und gespiegelt:
- E: (1,0,-2) - (0,1,-1) = (1,-1,-1) = 5/6 = A eine Qktave tiefer
- G: (0,1,-1) - (0,1,-1) = (0,0,0) = 1= C
spiegel(A) = (1,1,-3) - (1,-1,-1) = (0,2,-2) = D
spiegel(C) = (1,1,-3) - (0,0,0) = (1,1,-3) = 15/8 = B
Das Spiegelbild der Intervallfolge C→E→G ist
spiegel(C) → spiegel(E) → spiegel(G) = (1,1,-3) → (0,1,-1) → (1,0,-2) bzw. (1,0,-2) → (0,1,-1) → (1,1,-3) = E → G → B
Fazit:
Werden die Ausgangstöne E und G um eine Quinte erhöht und erniedrigt, so ehält man insgesamt die sechs Töne
C, D, E, G, A, B
diese werden durch die Funktion spiegel(X) = (1,1,-3) - X aufeineander gespiegelt.
Das Spiegelbild eines Dur-Dreiklangs ist ein Moll-Dreiklang und umgekehrt.
Gliederung in zwei Quintfolgen
| C | D | G | C' | |||||||||
| (0,0,0) | (0,2,-3) | (0,1,-1) | (0,0,1) | |||||||||
| E | A | B | ||||||||||
| (1,0,-2) | (1,-1,0) | (1,1,-3) | ||||||||||
| (0,2,-3) | (1,-2,1) | (-1,1,0) | (1,-2,1) | (0,2,-3) | (-1,-1,4) | |||||||
| 9/8 | 10/9 | 6/5 | 10/9 | 9/8 | 16/15 |
Erweiterung des Tonraumes
Die obere Quintfolge werde um eine Quinte tiefer erweitert; dadurch kommt der Ton (0,-1,2) = F hinzu; wird dieser Ton gespiegelt, kommt der Ton (1,2,-5) = F♯ hinzu, dadurch wird zugleich die obere Quintfolge um eine Quinte erhöht und es wird das Intervall E→G durch die beiden Töne F und F♯ geglierdert.
Der so entstandene 8-tönigen Tonraum ist:
| C | D | E | F | F♯ | G | A | B | C' | ||||||||
| (0,0,0) | (0,2,-3) | (1,0,-2) | (0,-1,2) | (1,2,-5) | (0,1,-1) | (1,-1,0) | (1,1,-3) | (0,0,1) | ||||||||
| (0,2,-3) | (1,-2,1) | (-1,-1,4) | (1,3,-7) | (-1,-1,4) | (1,-2,1) | (0,2,-3) | (-1,-1,4) |
Aus der 8-Ton-Skala können Quinten und Terzen gebildet werden, die zu Dreiklängen vereinigt werden können;
- D→A ist keine reine Quinte (680 Cent); sie ist um ein syntonisches Komma zu klein.
linear
Der letzte Akkord kann durch B zu einem Dreiklang ergänzt werden.
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oder
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